Het fascinerende getal 6174

Neem een willekeurig getal van vier cijfers. Zet de cijfers in oplopende en in aflopende volgorde, zodat er twee getallen van vier cijfers ontstaan - het kleinste en het grootste dat je er van kunt maken. Trek het kleinste getal van het grootste af. Herhaal dit totdat de uitkomst van de som 6174 is.

Vroeg of laat gebeurt dit, maximaal in zeven rekenstappen. Behalve als het begingetal uit vier dezelfde cijfers bestaat. Dan is de uitkomst vanzelfsprekend altijd nul. Ontstaat er tijdens het rekenen een getal kleiner dan duizend, vul dan het getal aan de voorzijde aan met nullen, om opnieuw vier cijfers te krijgen.

Het is 1949 als Kaprekar deze wetmatigheid ontdekt. Niet na een avondje diep nadenken, maar na drie jaar lang avonden achtereen vlijtig te rekenen. Kaprekar is in 1905 geboren in Dahanu in de buurt van Bombay, de grootste stad van India. Na afronding van zijn wiskundestudie aan de universiteit van Bombay gaat hij in 1930 als leraar aan de slag in Devlali, op ruim 150 ten noordoosten van de grote stad. Tot 1962 staat hij voor de klas, waarna hij zich helemaal op de getaltheorie stort.

Van jongs af aan ontdekt Kaprekar aan de lopende band interessante wetmatigheden, die niet meteen in het belang van de wetenschap zijn. Zo houdt hij zich onder andere bezig met magische vierkanten. Een magisch vierkant is een lappendeken van cijfers waarin de som van de rijen, kolommen en diagonalen in alle gevallen gelijk is.

De Japanse hoogleraar wiskunde Yutaka Nishiyama hoort in 1975 voor het eerst van de constante van Kaprekar. Het getal 6174 laat hem sindsdien niet meer los. Hij komt erachter dat er ook getallen van drie cijfers bestaan die een Kaprekarconstante hebben, zoals 495. Nishiyama schrijft een computerprogramma dat uitzoekt of dit ook voor grotere getallen geldt. Voor andere getallencombinaties die uit hooguit tien cijfers bestaan, blijkt de constante niet te bestaan. Daarboven heeft hij geen onderzoek gedaan, omdat daar te veel werk in zit.

Voor een wiskundige zonder computer als hulpmiddel heeft Kaprekar een buitengewoon knappe ontdekking gedaan, daar is de Japanner van overtuigd. Maar meer ook niet. „Er zit geen diepere wiskundige reden achter de constante. Hoe mooi en hoe mysterieus het resultaat ook is, de wetmatigheid staat volledig op zichzelf. Omdat de uitkomst zo mooi is, verwachten we er veel van. We hebben het gevoel dat er meer achter moet zitten, maar tot nu toe heeft niemand iets kunnen ontdekken.”

Nishiyama haast zich te zeggen dat hij de bevinding van de Indiase wiskundige niet de grond in wil boren. Vergelijkbare ontdekkingen hebben in het verleden vaak vroeg of laat een impuls aan de wiskunde of aan de wetenschap in haar geheel gegeven. Buitenstaanders zien wiskunde in het algemeen niet als nuttig, maar dat valt te bestrijden.

Neem de magische vierkanten, een andere fascinatie van Kaprekar. Je kunt de cijfervierkanten zien als intrigerende breinbrekers, maar tegenwoordig wijzen wiskundigen steeds meer op de mogelijkheid om ingewikkelde varianten te gebruiken in de cryptografie. Cryptografen versleutelen informatie zodanig dat geheime gegevens zonder gevaar kunnen worden verzonden. Binnen het betalingsverkeer speelt dit een grote rol.

De Indiase wiskundige heeft zijn naam aan meer fascinerende wiskundige wetenswaardigheden verbonden, zoals het Kaprekargetal. Dat is een getal waarvan het kwadraat in twee getallen is te splitsen, die bij elkaar opgeteld weer het originele getal opleveren. Een eenvoudig voorbeeld is het getal negen. Het kwadraat van negen is 81. De som van beide cijfers (acht plus een) is opnieuw negen. Onder de duizend bestaan er acht Kaprekargetallen: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999. Nog een voorbeeld: Het kwadraat van 703 is 494209. De getallen 494 en 209 bij elkaar opgeteld vormen opnieuw 703.

Naam: Dattathreya Ramachandra Kaprekar

Geboortedatum: 17 januari 1905

Sterfdatum: 1986

Nationaliteit: Indiaas

Vernoeming: Constante van Kaprekar